Question

3．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，記其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f（1）=0，且當(dāng)x＞0時，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，則不等式x²f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 把f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$ 化為[$\frac{f（x）}{x}$]′＞0；可判斷函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；再由f（1）=0，易得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖象特征，可得f（x）在（-∞，0）內(nèi)的正負(fù)性．則x²f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$．
∵當(dāng)x＞0時，有 f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，即xf′（x）-f（x）＞0，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0
∴g（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
∵f（1）=0，∴g（1）=0
∴當(dāng)x∈（0，1）時，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＜0，∴f（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＞0．∴f（x）＞0．
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）＞0；
當(dāng)x∈（-∞，-1）時，f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）．

點評 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用．在判斷函數(shù)的單調(diào)性時，�？衫�用導(dǎo)函數(shù)來判斷．屬于中檔題．