Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，（-1≤x≤0）}\\{\sqrt{1-{x}^{2}}，（0＜x≤1）}\end{array}\right.$，則${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=$\frac{1}{2}$+$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$（x+1）dx，根據(jù)定積分的計算和定積分的幾何意義即可求出．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$（x+1）dx，
由于${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原點為圓心，以1為半徑的圓的面積的四分之一，故${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
${∫}_{-1}^{0}$（x+1）dx=（$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x）|${\;}_{-1}^{0}$=-（$\frac{1}{2}$-1）=$\frac{1}{2}$，
∴${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$（x+1）dx=$\frac{1}{2}$+$\frac{π}{4}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$+$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查了定積分的計算和定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．