Question

6．已知函數(shù)f（x）=2^x+2^-x
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明
（Ⅱ）證明f（x）在[0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可看出f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義證明即可；
（Ⅱ）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂≥0，然后作差，通分，提取公因式，從而得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$，這樣證明f（x₁）＞f（x₂）便可得出函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
證明：f（x）的定義域?yàn)镽，且f（-x）=2^-x+2^x=f（x）；
∴f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅱ）證明：設(shè)x₁＞x₂≥0，則：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{x_1}}+{2^{-{x_1}}}-（{{2^{x_2}}+{2^{-{x_2}}}}）$
=$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）+（\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}-\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}）$
=$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$；
∵x₁＞x₂≥0；
∴${2}^{{x}_{1}}＞{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＞0$，x₁+x₂＞0，${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}＞1$，$1-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查偶函數(shù)的定義及判斷方法和過程，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，能提取公因式的要提取公因式，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．