Question

8．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，且橢圓的上焦點(diǎn)到直線x+$\sqrt{3}$y+1=0的距離等于橢圓的長半軸長，且直線l過橢圓的左頂點(diǎn)．求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），求得上焦點(diǎn)和左頂點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式和橢圓的a，b，c的關(guān)系，計算即可得到a，b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
上焦點(diǎn)為（0，c），左頂點(diǎn)為（-b，0），
由題意可得$\frac{|\sqrt{3}c+1|}{\sqrt{1+3}}$=a，
且-b+1=0，又a²-b²=c²，
解方程可得b=1，c=$\sqrt{3}$，a=2．
即有橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．