Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n≠0，λS_n=a_na_n+1+1，其中λ為常數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{a_2n-1}是等差數(shù)列；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得{a_n}為等差數(shù)列，并說明理由；
（3）若{a_n}為等差數(shù)列，令b_n=（-1）^n-1$\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，a_n≠0，λS_n=a_na_n+1+1，其中λ為常數(shù)．當(dāng)n≥2時(shí)，λS_n-1=a_n-1a_n+1，可得a_n+1-a_n-1=λ，用2n代替n可得：a_2n+1-a_2n-1=λ為常數(shù)，即可證明；
（2）由λS_n=a_na_n+1+1，取n=1，可得λ=a₂+1，可得a₂-a₁=λ-2．假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得{a_n}為等差數(shù)列，則λ-2=$\frac{1}{2}λ$，解得λ=4．即可得出．
（3）{a_n}為等差數(shù)列，由（2）可知：a_n=1+2（n-1）=2n-1．可得b_n=（-1）^n-1$•\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=$（-1）^{n-1}（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，利用“累加求和”即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁=1，a_n≠0，λS_n=a_na_n+1+1，其中λ為常數(shù)．
當(dāng)n≥2時(shí)，λS_n-1=a_n-1a_n+1，∴λa_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∴a_n+1-a_n-1=λ，用2n代替n可得：a_2n+1-a_2n-1=λ為常數(shù)，
∴數(shù)列{a_2n-1}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為λ；
（2）解：由λS_n=a_na_n+1+1，取n=1，可得λ=a₂+1，
則a₂=λ-1，∴a₂-a₁=λ-2．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得{a_n}為等差數(shù)列，則λ-2=$\frac{1}{2}λ$，解得λ=4．
因此當(dāng)λ=4時(shí)，（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）=4，即a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．
（3）∵{a_n}為等差數(shù)列，由（2）可知：a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴b_n=（-1）^n-1$\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（-1）^n-1$•\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=$（-1）^{n-1}（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，
∴當(dāng)n=2k時(shí)，
數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和T_n=$（1+\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）$-…+$（\frac{1}{2n-3}+\frac{1}{2n-1}）$-$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．
當(dāng)n=2k-1時(shí)，
數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和T_n=T_2k-b_n+1=1-$\frac{1}{2n+3}$+$（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$=1+$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n+2}{2n+1}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2n}{2n+1}，n為偶數(shù)}\\{\frac{2n+2}{2n+1}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“累加求和”，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．