Question

20．已知圓O：x²+y²=2．
（1）求與圓O相切且與直線(xiàn)x+2y=0垂直的直線(xiàn)方程；
（2）若EF，GH為圓O：x²+y²=2的兩條互相垂直的弦，垂足為M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求四邊形EFGH的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線(xiàn)方程，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即可求得結(jié)論；
（2）設(shè)EF，GH相交于M，圓心O到EF，GH的距離分別為d₁、d₂，則d₁²+d₂²=OM²=$\frac{3}{2}$，代入面積公式SS=$\frac{1}{2}$•|EF||GH|，使用基本不等式求出四邊形EFGH的面積的最大值．

解答 解：（1）設(shè)直線(xiàn)方程為2x-y+c=0，則
圓心到直線(xiàn)的距離為$\frac{|c|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{2}$，∴$c=\sqrt{10}$，
∴與圓O相切且與直線(xiàn)x+2y=0垂直的直線(xiàn)方程為2x-y±$\sqrt{10}$=0；
（2）設(shè)EF，GH相交于M，圓心O到EF，GH的距離分別為d₁、d₂，
則d₁²+d₂²=OM²=$\frac{3}{2}$．
四邊形ABCD的面積為：S=$\frac{1}{2}$•|EF||GH|=2$\sqrt{（2-{qn2jvff_{1}}^{2}）（2-{cae2vid_{2}}^{2}）}$≤4-（d₁²+d₂²）=2.5，
當(dāng)且僅當(dāng)d₁² =d₂²時(shí)取等號(hào)，即四邊形EFGH的面積的最大值為2.5．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生掌握垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．解答關(guān)鍵是四邊形面積可用互相垂直的2條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度之積的一半來(lái)計(jì)算．