Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow$=（cosωx，-cosωx），其中ω＞0，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\frac{1}{2}$的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{4}$
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）若x∈（0，$\frac{π}{3}$]，且f（x）=m有且僅有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的值
（Ⅲ）若x∈（$\frac{7π}{24}$，$\frac{5π}{12}$），f（x）=-$\frac{3}{5}$，求cos4x的值．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，然后利用兩相鄰對稱軸間的距離求得函數(shù)的周期，進(jìn)而根據(jù)周期公式求得ω．
（2）y由x范圍得到f（x）的范圍利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到m的值；
（3）根據(jù)（1）中整理函數(shù)解析式，依據(jù)f（x）=-$\frac{3}{5}$和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（4x-$\frac{π}{6}$）的值，進(jìn)而根據(jù)cos4x=cos（4x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）利用兩角和公式求得答案．

解答 解：由題意，f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos2ωx+$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
（1）∵兩相鄰對稱軸間的距離為 $\frac{π}{4}$，
∴T=$\frac{π}{2}$=$\frac{2π}{2ω}$，
∴ω=2．
（2）由（1）得到f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$），
因?yàn)閤∈（0，$\frac{π}{3}$]，所以4x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（4x-$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，要使f（x）=m有且僅有一個(gè)實(shí)根，只要m=-$\frac{1}{2}$或者m=1；
（3）由（1）得，f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，
∵x∈（$\frac{7π}{24}$，$\frac{5π}{12}$），
∴4x-$\frac{π}{6}$∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cos（4x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cos4x=cos（4x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=cos（4x-$\frac{π}{6}$）cos $\frac{π}{6}$-sin（4x-$\frac{π}{6}$）sin $\frac{π}{6}$=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，兩角和公式的化簡求值，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性．考查了三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．