Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，則a_n=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知得a_2n+1+a_2n=4n-1，a_2n-a_2n-1=4n-3．兩式相減得a_2n+1+a_2n-1=2．從而a₃=2-a₁，a_2n+3+a_2n+1=2，a_2n+3=a_2n-1（n∈N^*）．由此能求出a_n．

解答： 解：因為數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，
所以a_2n+1+a_2n=4n-1，a_2n-a_2n-1=4n-3．
兩式相減得a_2n+1+a_2n-1=2．
所以a₃=2-a₁，a_2n+3+a_2n+1=2，
所以a_2n+3=a_2n-1（n∈N^*）．
當n=2k（k∈N^*）時，a_4k+3=a_4k-1=…=a₃=2-a₁=1，
當n=2k-1（k∈N*）時，a_4k+1=a_4k-3=…=a₁=1，
由已知可得a_4k-1+a_4k-2=8k-5，a_4k-a_4k-1=8k-3（k∈N*）．
所以a_4k-2=8k-5-a_4k-1=8k-7+a₁=8k-6，a_4k=8k-3+a_4k-1=8k-1-a₁=8k-2，
所以a_n=

1，n=4k-3 2n-2，n=4k-2 1，n=4k-1 2n-2，n=4k

，（k∈N^*）．
故答案為：

1，n=4k-3 2n-2，n=4k-2 1，n=4k-1 2n-2，n=4k

，（k∈N^*）．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．