Question

11．函數(shù)f（t）=${∫}_{0}^{t}$（$\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}$-π）dx（t＞0）在（1，3）上的單調(diào)性是（　�。�

• A． 先遞減后遞增
• B． 先遞增后遞減
• C． 單調(diào)遞增
• D． 單調(diào)遞減

Answer 1

分析 由定積分求出$f（t）=\frac{π}{4}{t}^{2}-πt$，由此利用導數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)f（t）=${∫}_{0}^{t}$（$\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}$-π）dx（t＞0）在（1，3）上的單調(diào)性是先遞減后遞增．

解答 解：∵f（t）=${∫}_{0}^{t}$（$\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}$-π）dx（t＞0）
=${∫}_{0}^{t}\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}dx-π{∫}_{0}^{t}dx$
=${∫}_{0}^{t}{t}^{2}\sqrt{1-（\frac{x}{t}）^{2}}d（\frac{x}{t}）-πt$，
設$\frac{x}{t}=sinθ$，
則${∫}_{0}^{t}{t}^{2}\sqrt{1-（\frac{x}{t}）^{2}}d（\frac{x}{t}）$
=t²${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}co{s}^{2}θdθ$
=${t}^{2}{∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（\frac{cosθ}{2}+\frac{1}{2}）dθ$
=${t}^{2}{∫}_{0}^{π}\frac{1}{4}dsinθ+\frac{1}{2}{t}^{2}{∫}_{0}^{\frac{π}{2}}dθ$
=$\frac{π}{4}{t}^{2}$，
∴$f（t）=\frac{π}{4}{t}^{2}-πt$，${f}^{'}（t）=\frac{π}{2}t-π$，
t∈（1，2）時，f′（t）0，
∴函數(shù)f（t）=${∫}_{0}^{t}$（$\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}$-π）dx（t＞0）在（1，3）上的單調(diào)性是先遞減后遞增．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意定積分和導數(shù)性質(zhì)的合理運用．