11.函數(shù)f(t)=${∫}_{0}^{t}$($\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}$-π)dx(t>0)在(1,3)上的單調(diào)性是( 。
A.先遞減后遞增B.先遞增后遞減C.單調(diào)遞增D.單調(diào)遞減

分析 由定積分求出$f(t)=\frac{π}{4}{t}^{2}-πt$,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)f(t)=${∫}_{0}^{t}$($\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}$-π)dx(t>0)在(1,3)上的單調(diào)性是先遞減后遞增.

解答 解:∵f(t)=${∫}_{0}^{t}$($\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}$-π)dx(t>0)
=${∫}_{0}^{t}\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}dx-π{∫}_{0}^{t}dx$
=${∫}_{0}^{t}{t}^{2}\sqrt{1-(\frac{x}{t})^{2}}d(\frac{x}{t})-πt$,
設(shè)$\frac{x}{t}=sinθ$,
則${∫}_{0}^{t}{t}^{2}\sqrt{1-(\frac{x}{t})^{2}}d(\frac{x}{t})$
=t2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}co{s}^{2}θdθ$
=${t}^{2}{∫}_{0}^{\frac{π}{2}}(\frac{cosθ}{2}+\frac{1}{2})dθ$
=${t}^{2}{∫}_{0}^{π}\frac{1}{4}dsinθ+\frac{1}{2}{t}^{2}{∫}_{0}^{\frac{π}{2}}dθ$
=$\frac{π}{4}{t}^{2}$,
∴$f(t)=\frac{π}{4}{t}^{2}-πt$,${f}^{'}(t)=\frac{π}{2}t-π$,
t∈(1,2)時(shí),f′(t)0,
∴函數(shù)f(t)=${∫}_{0}^{t}$($\sqrt{{t}^{2}-{x}^{2}}$-π)dx(t>0)在(1,3)上的單調(diào)性是先遞減后遞增.
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的判斷,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意定積分和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)在不等式組$\left\{\begin{array}{l}m+n≤1\\-1≤m≤1\\-1≤n≤1\end{array}\right.$所對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi),隨機(jī)抽取一點(diǎn)A(m,n),以m和n的取值構(gòu)成關(guān)于x的一次函數(shù)y=mx+n,求構(gòu)成的函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限的概率.

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