Question

2．設(shè)不相等的平面向量組$\overrightarrow{{a}_{i}}$=（i=1，2，3，…），滿足：①|(zhì)$\overrightarrow{{a}_{i}}$|=3；②$\overrightarrow{{a}_{i}}$$•\overrightarrow{{a}_{i+1}}$=0，若$\overrightarrow{{T}_{m}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{m}}$（m≥2），則|$\overrightarrow{{T}_{m}}$|的取值集合為{0，3，3$\sqrt{2}$}．

Answer 1

分析 由：∵|$\overrightarrow{{a}_{i}}$|=3，$\overrightarrow{{a}_{i}}$$•\overrightarrow{{a}_{i+1}}$=0，得到$\overrightarrow{{a}_{1}}$⊥$\overline{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$$⊥\overrightarrow{{a}_{3}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{4}}$，即$\overrightarrow{{a}_{1}}$=-$\overrightarrow{{a}_{3}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$=-$\overrightarrow{{a}_{4}}$，$\overrightarrow{{a}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{4}}$，且且i的最大值為4，再利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{{a}_{i}}$|=3，$\overrightarrow{{a}_{i}}$$•\overrightarrow{{a}_{i+1}}$=0，
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$⊥$\overline{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$$⊥\overrightarrow{{a}_{3}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{4}}$，
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$=-$\overrightarrow{{a}_{3}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$=-$\overrightarrow{{a}_{4}}$，$\overrightarrow{{a}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{4}}$，且且i的最大值為4，
∴|$\overrightarrow{{T}_{m}}$|²=（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{m}}$）²=${\overrightarrow{{a}_{1}}}^{2}$+${\overrightarrow{{a}_{2}}}^{2}$+…+${\overrightarrow{{a}_{m}}}^{2}$+2（$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{m-1}}•\overrightarrow{{a}_{m}}$）=9m+2（$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{m-1}}•\overrightarrow{{a}_{m}}$），
若m=2時(shí)，${\overrightarrow{{T}_{2}}}^{2}$=18，|$\overrightarrow{{T}_{2}}$|=3$\sqrt{2}$，
若m=3時(shí)，${\overrightarrow{{T}_{3}}}^{2}$=9，|$\overrightarrow{{T}_{3}}$|=3，
若m=4時(shí)，${\overrightarrow{{T}_{4}}}^{2}$=0，|$\overrightarrow{{T}_{4}}$|=0，
∴|$\overrightarrow{{T}_{m}}$|的取值集合為{0，3，3$\sqrt{2}$}，
故答案為：{0，3，3$\sqrt{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題