Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=4，DC=DB=3，PB=PC=5，AD⊥DB，
（1）求證：AD⊥PB；
（2）若tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，且PA與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{12\sqrt{13}}{65}$，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）由已知得AD⊥PD，AD⊥DB，從而AD⊥PD，又AD⊥DB，進(jìn)而AD⊥平面PBD，由此能證明AD⊥PB．
（2）以D為原點(diǎn)，以DA、DB、DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AD．

解答 解：（1）∵PD=4，DC=DB=3，PB=PC=5，
∴由勾股定理可得：PD⊥BD，PD⊥CD，
∴由BD∩CD=D，可得PD⊥平面BCD，
∴由AD?平面BCD，可得PD⊥AD，
∵AD⊥DB，AD∩BD=D，
∴AD⊥平面PBD，
∴由PB?平面PBD，可得AD⊥PB；
（2）由（1）知，PD、AD、BD兩兩垂直，
以D為原點(diǎn)，以DA、DB、DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD=λ，λ＞0，結(jié)合tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，得：
A（λ，0，0），B（0，3，0），C（-$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$，0），P（0，0，4），
∴$\overrightarrow{PA}$=（λ，0，-4），$\overrightarrow{DC}$=（-$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，4），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面PCD的法向量，
由題意知$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{n}=4z=0}\\{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}=-\frac{9x}{5}+\frac{12y}{5}=0}\end{array}\right.$，
取y=3，得$\overrightarrow{n}$=（4，3，0），
設(shè)PA與平面PCD所成角為θ，
∵PA與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{12\sqrt{13}}{65}$，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{4λ}{5\sqrt{{λ}^{2}+16}}$|=$\frac{12\sqrt{13}}{65}$，
解得λ=6，
∴AD=6．

點(diǎn)評 本題考查線面角的計算、線面、線線垂直的位置關(guān)系，考查空間想象能力，論證推理能力以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．