Question

14．如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAC和△PBC是邊長為$\sqrt{2}$的等邊三角形，AB=2，O是AB的中點(diǎn)；
（1）求證：PO⊥面ABC；
（2）求二面角P-BC-A的余弦值；
（3）求點(diǎn)A到面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）PA=PB=$\sqrt{2}$，O是AB的中點(diǎn)，可得PO⊥AB．再利用直角三角形與等腰三角形的性質(zhì)可得：PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=1，OC=1．于是OC²+OP²=PC²，利用勾股定理的逆定理可得PO⊥OC．即可證明結(jié)論．
（2）由（1）可得：PO⊥面ABC．取BC的中點(diǎn)D，連接PD，OD，可得OD⊥BC，BC⊥PD．因此∠PDO是二面角P-BC-A的平面角．再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．
（3）由O是AB的中點(diǎn)，可得點(diǎn)A到面PBC的距離是點(diǎn)O到面PBC的距離的2倍．利用V_P-OBC=V_O-PBC，即可得出．

解答 （1）證明：∵PA=PB=$\sqrt{2}$，O是AB的中點(diǎn)，∴PO⊥AB．
在RT△POA中，PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=1，同理可得：OC=1．
∴OC²+OP²=2=$（\sqrt{2}）^{2}$=PC²，∴PO⊥OC．
又PO∩OC=O，∴PO⊥面ABC．
（2）解：由（1）可得：PO⊥面ABC．
取BC的中點(diǎn)D，連接PD，OD，
∵OC=OB=1，∴OD⊥BC．
∴BC⊥PD．
∴∠PDO是二面角P-BC-A的平面角．
在RT△OBD中，OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
可得：PD=$\sqrt{O{P}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
在RT△OPD中，cos∠PDO=$\frac{OD}{PD}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．∴
∴二面角P-BC-A的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）解：∵O是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)A到面PBC的距離是點(diǎn)O到面PBC的距離的2倍．
設(shè)點(diǎn)O到面PBC的距離為h．
則V_P-OBC=V_O-PBC，
∴$\frac{1}{3}•PO•{S}_{△OBC}$=$\frac{1}{3}•h•{S}_{△PBC}$．
∴1×$\frac{1}{2}$×1²=h•$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{2}）^{2}$，
解得h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴點(diǎn)A到面PBC的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間角、空間距離、三棱錐的體積計(jì)算公式、等腰與等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、線面垂直的判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．