Question

5．從拋物線Γ：x²=4y外一點P引拋物線Γ的兩條切線PA和PB（切點為A，B），分別與x軸相交于C，D，若AB與y軸相交于點Q．
（Ⅰ）求證：四邊形PCQD是平行四邊形；
（Ⅱ）四邊形PCQD能否為矩形？若能，求出點Q的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)A，B的坐標(biāo)，求出切線PA，PB的方程，解出P點坐標(biāo)，設(shè)Q坐標(biāo)和直線AB方程，聯(lián)立方程組得出P，Q點的坐標(biāo)關(guān)系證明CD平分PQ，求出C，D坐標(biāo)，得出CD的中點，代入PQ方程即可得出PQ平分CD，于是得出結(jié)論；
（II）若四邊形PCQD能否為矩形，則|PQ|=|CD|，列方程解出k，t的關(guān)系得出Q坐標(biāo)．

解答 解：（I）證明：由x²=4y得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，∴y′=$\frac{1}{2}$x．
設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
則直線PA的方程為y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），①
直線PB的方程為y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂），②
由①、②解得x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$，
∴P點坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$）．
設(shè)點Q（0，t），則直線AB的方程為y=kx+t．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$得x²-4kx-4t=0，則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4t，
∴P（2k，-t），∴線段PQ被x軸平分，即被線段CD平分．
在①中，令y=0，解得x=$\frac{1}{2}$x₁，∴C（$\frac{1}{2}$x₁，0）；
同理得D（$\frac{1}{2}$x₂，0），
∴線段CD的中點坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$，0），即（k，0）．
又∵直線PQ的方程為y=-$\frac{t}{k}$x+t，∴線段CD的中點（k，0）在直線PQ上，
即線段CD被線段PQ平分，
∴四邊形PCQD是平行四邊形．
（II）若四邊形PCQD是矩形，則|PQ|=|CD|，
即$\sqrt{4{k}^{2}+4{t}^{2}}$=$\sqrt{\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16{k}^{2}+16t}$，
解得t=1．
∴當(dāng)點Q為（0，1）（即拋物線Γ的焦點）時，四邊形PCQD為矩形．

點評 本題考查了拋物線的方程和性質(zhì)的運用，直線與拋物線的位置關(guān)系，注意運用聯(lián)立方程，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．