Question

8．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₃=$\frac{1}{8}$，且S₂+$\frac{1}{16}$，S₃，S₄成等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=8n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記數(shù)列{a_n}的公比為q，則2S₃=S₂+$\frac{1}{16}$+S₄，即${a}_{3}={a}_{4}+\frac{1}{16}$，又由a₃=$\frac{1}{8}$，知a₄=$\frac{1}{16}$，從而q=$\frac{1}{2}$，根據(jù)公式即得結(jié)果；
（Ⅱ）當(dāng)b_n=8n時(shí)，a_n•b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$•8n，計(jì)算出T_n、$\frac{1}{2}•$T_n，兩式相減即得結(jié)論T_n．

解答 解：（Ⅰ）記數(shù)列{a_n}的公比為q，由S₂+$\frac{1}{16}$，S₃，S₄成等差數(shù)列，
可知2S₃=S₂+$\frac{1}{16}$+S₄，即${a}_{3}={a}_{4}+\frac{1}{16}$，
又a₃=$\frac{1}{8}$，故a₄=$\frac{1}{16}$，從而$q=\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{2}$，
則a₁=$\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$ （n∈N^*）；
（Ⅱ）當(dāng)b_n=8n時(shí)，a_n•b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$•8n，
所以T_n=$\frac{1}{2}•8+\frac{1}{{2}^{2}}•16+…+\frac{1}{{2}^{n}}•8n$，
$\frac{1}{2}•$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}•8$$+\frac{1}{{2}^{3}}•16+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}•8n$，
兩式相減，得：$\frac{1}{2}•$T_n=$\frac{1}{2}•8+\frac{1}{{2}^{2}}•8+…+\frac{1}{{2}^{n}}•8-\frac{1}{{2}^{n+1}}•8n$
=$8×\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}-\frac{8n}{{2}^{n+1}}$
=$8-\frac{16+8n}{{2}^{n+1}}$，
所以T_n=16$-\frac{16+8n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)的應(yīng)用、錯(cuò)位相減法求和，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、運(yùn)算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題．