Question

7．如圖，四邊形ABCD滿足$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=0，|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{DC}$|=2，若M是BC的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{DM}$•$\overrightarrow{DC}$=（　�。�

• A． 1
• B． -1
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 利用三角形中線與邊的向量關(guān)系得到$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}）$，利用向量垂直等進(jìn)行運(yùn)算．

解答 解：因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以得到$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}）$，
又$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=0，|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{DC}$|=2，
所以$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{DM}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AB}•\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$-$\frac{1}{2}（\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}）•\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{DC}}^{2}$=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形中線的向量性質(zhì)以及向量的運(yùn)算；解答的關(guān)鍵是利用三角形的中線的向量表示．