Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{8}$（3²ⁿ-1），n∈N^*．若b_n=log₃$\frac{a_n}{n}$，則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 分n=1與n≥2討論可得$\frac{n}{{a}_{n}}$=3^2n-1，從而可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=3^1-2n，化簡b_n=1-2n，從而由裂項求和的方法求前n項和即可．

解答 解：當(dāng)n=1時，$\frac{1}{{a}_{1}}$=3，
當(dāng)n≥2，n∈N^*時，
$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{8}$（3²ⁿ-1）①，
$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+…+$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{3}{8}$（3^2n-2-1）②；
①-②得，
$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{8}$（3²ⁿ-1-（3^2n-2-1））=3^2n-1，
$\frac{1}{{a}_{1}}$=3也成立，
故$\frac{n}{{a}_{n}}$=3^2n-1，
故$\frac{{a}_{n}}{n}$=3^1-2n，
故b_n=log₃$\frac{a_n}{n}$=log₃3^1-2n=1-2n，
故$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（1-2n）（-1-2n）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）；
故$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了前n項和與等比數(shù)列的通項公式的求法及裂項求和法的應(yīng)用，屬于中檔題．