Question

11．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}$=$\frac{2sinA-sinC}{sinC}$，且b=4．
（1）求角B；
（2）求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}$=$\frac{2sinA-sinC}{sinC}$，且b=4．利用正弦定理可得$\frac{{a}^{2}+16-{c}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}-16}$=$\frac{2a-c}{c}$，化簡再利用余弦定理即可得出．
（2）由（1）可得：ac=a²+c²-16≥2ac-16，解得ac≤16．即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}$=$\frac{2sinA-sinC}{sinC}$，且b=4．
∴$\frac{{a}^{2}+16-{c}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}-16}$=$\frac{2a-c}{c}$，化為：a²+c²-16=ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{4}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$．
又B∈（0，π），解得B=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可得：ac=a²+c²-16≥2ac-16，解得ac≤16．當且僅當a=c=4時取等號．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$$≤\frac{1}{2}×16×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積的最大值為4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、三角形面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．