Question

8．若函數(shù) f（x）=ae^-x-e^x為奇函數(shù)，則f（x-1）＜e-$\frac{1}{e}$的解集為（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，2）
• C． （2，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為R上的奇函數(shù)便有f（0）=0，從而可求得a=1，這便得到f（x）=e^-x-e^x，求導數(shù)可得出f′（x）＜0，從而得出f（x）在R上單調(diào)遞減，而f（-1）=$e-\frac{1}{e}$，從而由原不等式得到f（x-1）＜f（-1），從而有x-1＞-1，這樣便可得出原不等式的解集．

解答 解：f（x）在R上為奇函數(shù)；
∴f（0）=0；
即a-1=0；
∴a=1；
∴f（x）=e^-x-e^x，f'（x）=-e^-x-e^x＜0；
∴f（x）在R上單調(diào)遞減；
∴由$f（x-1）＜e-\frac{1}{e}=f（-1）$得：x-1＞-1；
即x＞0；
∴原不等式的解集為（0，+∞）．
故選D．

點評 考查奇函數(shù)的定義，以及奇函數(shù)在原點有定義時，原點處的函數(shù)值為0，根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)減函數(shù)的定義解不等式的方法．