Question

20．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1與過點（0，-1）的直線相交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標為-$\frac{2}{3}$，則直線的方程是y=x-1．

Answer 1

分析 設直線方程為y=kx-1代入$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1得（5-2k）x²+4kx-12=0，根據韋達定理及MN的中點的橫坐標為-$\frac{2}{3}$，即可求出直線的方程．

解答 解：設直線方程為y=kx-1代入$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1得（5-2k）x²+4kx-12=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4k}{2k-5}$，
∵MN的中點的橫坐標為-$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{4k}{2k-5}$=-$\frac{4}{3}$，解得k=1，
∴直線的方程是y=x-1．
故答案為：y=x-1．

點評 本題主要考查代數方法解決幾何問題，同時考查雙曲線的標準方程與性質等．