【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直線l過點A(4,0),且被圓C1截得的弦長為2,求直線l的方程;
(2)設(shè)P為平面上的點,滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1和圓C2相交,且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=0或7x+24y-28=0.(2)或
【解析】(1)設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0.由垂徑定理,得圓心C1到直線l的距離d==1,結(jié)合點到直線距離公式,得=1,化簡得24k2+7k=0,解得k=0或k=-.
所求直線l的方程為y=0或y=- (x-4),即y=0或7x+24y-28=0.
(2)設(shè)點P坐標(biāo)為(m,n),直線l1、l2的方程分別為y-n=k(x-m),y-n=- (x-m),即kx-y+n-km=0,- x-y+n+m=0.
因為直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等,兩圓半徑相等.由垂徑定理,得圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等.故有,
化簡得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5.
因為關(guān)于k的方程有無窮多解,所以有
解得點P坐標(biāo)為或.
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【題目】如圖,圓:.
(Ⅰ)若圓C與x軸相切,求圓C的方程;
(Ⅱ)已知,圓與x軸相交于兩點(點在點的左側(cè)).過點任作一條直線與圓:相交于兩點A,B.問:是否存在實數(shù)a,使得=?若存在,求出實數(shù)a的值,若不存在,請說明理由.
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【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行,科學(xué)規(guī)劃車輛投放,在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站,為了研究車輛發(fā)車間隔時間與乘客等候人數(shù)之間的關(guān)系,經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):
間隔時間/分 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等候人數(shù)y/人 | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
調(diào)查小組先從這組數(shù)據(jù)中選取組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的組數(shù)據(jù)進行檢驗.檢驗方法如下:先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù),再求與實際等候人數(shù)的差,若差值的絕對值都不超過,則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.
(1)從這組數(shù)據(jù)中隨機選取2組數(shù)據(jù),求選取的這組數(shù)據(jù)的間隔時間不相鄰的概率;
(2)若選取的是后面組數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”;
附:對于一組數(shù)據(jù),,……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.
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【題目】已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)= f1(x)+ f2(x).
(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的表達式;
(Ⅱ) 證明:當(dāng)a>3時,關(guān)于x的方程f(x)= f(a)有三個實數(shù)解.
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【題目】如圖,四棱錐 中,是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面平面.
(1)若點E是PC的中點,求證:平面BDE;
(2)若點F在線段PA上,且,當(dāng)三棱錐的體積為時,求實數(shù)的值.
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【題目】拋物線的焦點為F,斜率為正的直線l過點F交拋物線于A、B兩點,滿足.
(1)求直線l的斜率;
(2)設(shè)點在線段上運動,原點關(guān)于點的對稱點為,求四邊形的面積的最小值.
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【題目】某大型商場在2018年國慶舉辦了一次抽獎活動抽獎箱里放有3個紅球,3個黑球和1個白球這些小球除顏色外大小形狀完全相同,從中隨機一次性取3個小球,每位顧客每次抽完獎后將球放回抽獎箱活動另附說明如下:
凡購物滿含元者,憑購物打印憑條可獲得一次抽獎機會;
凡購物滿含元者,憑購物打印憑條可獲得兩次抽獎機會;
若取得的3個小球只有1種顏色,則該顧客中得一等獎,獎金是一個10元的紅包;
若取得的3個小球有3種顏色,則該顧客中得二等獎,獎金是一個5元的紅包;
若取得的3個小球只有2種顏色,則該顧客中得三等獎,獎金是一個2元的紅包.
抽獎活動的組織者記錄了該超市前20位顧客的購物消費數(shù)據(jù)單位:元,繪制得到如圖所示的莖葉圖.
求這20位顧客中獲得抽獎機會的顧客的購物消費數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)結(jié)果精確到整數(shù)部分;
記一次抽獎獲得的紅包獎金數(shù)單位:元為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望,并計算這20位顧客在抽獎中獲得紅包的總獎金數(shù)的平均值假定每位獲得抽獎機會的顧客都會去抽獎.
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