Question

4．設(shè)$\overrightarrow a•\overrightarrow b=4\sqrt{3}$，若$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上投影為$2\sqrt{3}$，$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影為$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的投影定義，可得|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，再由cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$，計(jì)算即可得到所求夾角．

解答 解：$\overrightarrow a•\overrightarrow b=4\sqrt{3}$，
若$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上投影為$2\sqrt{3}$，$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影為$\sqrt{3}$，
可得$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=2$\sqrt{3}$，$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}$=$\sqrt{3}$，
即有|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，
則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{4×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≤π，
可得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的夾角的求法，注意運(yùn)用向量的投影概念和向量數(shù)量積的夾角公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．