Question

8．某做醬菜的師傅通常用半徑為1米的扇形鐵皮制成一個圓錐形的蓋，用來蓋醬菜缸，則醬菜缸蓋的最大體積為$\frac{2\sqrt{3}π}{27}$．

Answer 1

分析 設(shè)圓錐底面半徑為r，用r表示出圓錐的高，得出體積關(guān)于r的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的最大值．

解答 解：設(shè)醬菜缸蓋的底面半徑為r，則醬菜缸蓋的蓋為h=$\sqrt{1-{r}^{2}}$．（0＜r＜1）．
∴醬菜缸蓋的體積V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{1}{3}π{r}^{2}\sqrt{1-{r}^{2}}$=$\frac{1}{3}π$$\sqrt{{r}^{4}-{r}^{6}}$．
令f（r）=r⁴-r⁶，則f′（r）=4r³-6r⁵．
令f′（r）=0解得r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
當(dāng)0$＜r＜\frac{\sqrt{6}}{3}$時，f′（r）＞0，當(dāng)$\frac{\sqrt{6}}{3}＜r＜1$時，f′（r）＜0．
∴當(dāng)r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時，f（r）取得最大值f（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）=$\frac{4}{27}$．
∴V的最大值為$\frac{1}{3}π×\sqrt{\frac{4}{27}}$=$\frac{2\sqrt{3}π}{27}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}π}{27}$．

點評 本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，函數(shù)的最值，屬于中檔題．