Question

15．已知（1+m$\sqrt{x}$）ⁿ（m∈R⁺）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為112．
（1）求m、n的值；
（2）求（1+m$\sqrt{x}$）ⁿ（1-x）展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n=8，再利用通項(xiàng)公式求得m的值．
（2）由題意可得，（1+2$\sqrt{x}$）⁸（1-x）的展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{8}^{4}$•2⁴-${C}_{8}^{2}$•2²，計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)（1+m$\sqrt{x}$）ⁿ（m∈R⁺）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ=256，可得n=8．
設(shè)含x的項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（m\sqrt{x}）}^{r}$，故展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{8}^{2}$•m²=112，∴m=±2，
又m∈R⁺，
故m=2．
（2）由（1）知（1+m$\sqrt{x}$）ⁿ（1-x）=（1+2$\sqrt{x}$）⁸（1-x）的展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)為：
${C}_{8}^{4}$•2⁴-${C}_{8}^{2}$•2²=1008．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．