Question

6．已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-1，1）有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)以及一次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）若a=0，則f（x）=2x-3，
令f（x）=0得$x=\frac{3}{2}∉（-1\;，\;1）$，不符合題意，故a≠0…（3分）
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由于f（0）=-3＜0，
∴y=f（x）在（-1，1）上可有兩個(gè)不同零點(diǎn)或一個(gè)零點(diǎn)，依題意需滿足$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ f（1）＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ f（-1）＞0\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 2a+2-3＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 2a-2-3＞0\end{array}\right.$
解之得$a＞\frac{1}{2}$…（7分）
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-1，1）有零點(diǎn)需滿足$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\-1＜-\frac{1}{2a}＜1\\△≥0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\-\frac{1}{2a}≥1\\ f（1）＞0\end{array}\right.$
無解，故a＜0時(shí)，不符合題意
由（1）（2）（3）可知f（x）在（-1，1）上有零點(diǎn)，
a的取值范圍是$（\frac{1}{2}\;，\;+∞）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想，是一道中檔題．