Question

某種產(chǎn)品每件成本為6元，每件售價為x元(6<x<11)，年銷售為u萬件，若已知－u與成正比，且售價為10元時，年銷量為28萬件．

（Ⅰ）求年銷售利潤y關(guān)于售價x的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）求售價為多少時，年利潤最大，并求出最大年利潤．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)－u＝k，      1分

∵售價為10元時，年銷量為28萬件，∴－28＝k，解得k＝2.      3分

∴u＝－2＋＝－2x2＋21x＋18.     4分

∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108(6<x<11)．     6分

（Ⅱ）y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．   7分

令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9，  8分

當x∈(6,9)時，y′>0；當x∈(9,11)時，y′<0.     9分

∴函數(shù)y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是遞增的，在(9,11)上是遞減的．   10分

∴當x＝9時，y取最大值，且ymax＝135，  11分

∴售價為9元時，年利潤最大，最大年利潤為135萬元．   12分