Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，滿足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，|$\overrightarrow{c}$|=4，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的余弦值以及|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$得-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，兩邊平方求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，代入夾角公式求出夾角余弦，計(jì)算（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²，開(kāi)方得出|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，∴-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{c}$²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，即16=4+9+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{3}{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{1}{4}$．
∵（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=10，∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．