Question

16．如果關于x的不等式ax²-丨x+1丨+2a＜0的解集為空集，則實數(shù)的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． [$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，+∞）
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 先二次項系數(shù)和0的大小關系分情況討論；再在每一種情況下找到滿足要求的實數(shù)a的取值范圍；最后綜合即可．（注意不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集為空集等價于所有的函數(shù)值都大于等于0，即最小值大于等于0）．

解答 解：（1）若a=0，-|x+1|＜0的解集非空；不符合題意．
（2）若a＜0，y=ax²-丨x+1丨+2a為開口向下的二次函數(shù)，
∴ax²-|x+1|+2a＜0的解集非空．不符合題意，
（3）若a＞0時，
①當x≤-1時，不等式ax²-|x+1|+2a＜0為ax²+x+2a+1＜0．
∵關于x的不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集為空集，
∴f（x）_min=f（-1）≥0⇒a≥0，∴a＞0．
②當x＞-1時，不等式ax²-|x+1|+2a＜0為ax²-x+2a-1＜0，
∵關于x的不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集為空集
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{2a}$）≥0⇒8a²-4a-1≥0⇒a≥$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$或a≤$\frac{1-\sqrt{3}}{4}$（舍）．
綜上，a≥$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查一元二次不等式的解法，解題的關鍵是對參數(shù)的范圍進行分類討論，分類解不等式，易因為分類不清與分類有遺漏導致解題失敗，解答此類題時要嚴謹，避免考慮不完善出錯．