Question

16．已知圓C與圓D：x²+y²-4x-2y+3=0關(guān)于直線4x+2y-5=0對稱．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若點P（2，0），M（0，2），設(shè)Q為圓C上一個動點．
①求△QPM面積的最大值，并求出最大值時對應(yīng)點Q的坐標(biāo)；
②在①的結(jié)論下，過點Q作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B兩點，若直線QA，QB的傾斜角互補，問直線AB與直線PM是否垂直？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心坐標(biāo)，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）①設(shè)點Q到PM的距離為h，圓心C到PM的距離為d，所以${S_{△QPM}}=\frac{1}{2}\left|{PM}\right|•h=\sqrt{2}h$．△QPM面積的最大值即需要h取的最大值，此時點Q與圓心C的連線與PM垂直；
②證明k_PM•k_AB=-1，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵x²+y²-4x-2y+3=0，
∴（x-2）²+（y-1）²=2．  …（1分）
設(shè)圓C的圓心為C（a，b），
又因為圓C與圓D關(guān)于直線4x+2y-5=0對稱，
即圓心D（2，1）與（a，b）關(guān)于直線4x+2y-5=0對稱．
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{b-1}{a-2}•（{-2}）=-1\\ 4•\frac{a+2}{2}+2•\frac{b+1}{2}-5=0\end{array}\right.$，…（3分）
∴$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\end{array}\right.$．     
∴圓C的方程為x²+y²=2． …（4分）
（Ⅱ）①因為點P（2，0），M（0，2），所以$\left|{PM}\right|=2\sqrt{2}$，…（5分）
設(shè)點Q到PM的距離為h，圓心C到PM的距離為d，
所以${S_{△QPM}}=\frac{1}{2}\left|{PM}\right|•h=\sqrt{2}h$．△QPM面積的最大值即需要h取的最大值，此時點Q與圓心C的連線與PM垂直，
故有最大值$h=d+r=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，最大面積${S_{△QPM}}=\sqrt{2}•2\sqrt{2}=4$，…（7分）
此時點Q坐標(biāo)為點（-1，-1）．     …（8分）
②直線AB與直線PM垂直，理由如下：…（9分）
因為過點Q（-1，-1）作兩條相異直線分別與圓C相交于A、B兩點，直線QA、QB的傾斜角互補，所以直線QA、QB斜率都存在．
設(shè)直線QA的斜率為k，則直線QB斜率為-k，所以直線QA的方程：y+1=k（x+1）
$\left\{\begin{array}{l}y+1=k（x+1）\\{x^2}+{y^2}=2\end{array}\right.$⇒（1+k²）x²+2k（k-1）x+k²-2k-1=0，…（10分）
又因為點Q（-1，-1）在圓C上，故有${x_A}•（-1）=\frac{{{k^2}-2k-1}}{{1+{k^2}}}$，所以${x_A}=\frac{{-{k^2}+2k+1}}{{1+{k^2}}}$，
同理${x_B}=\frac{{-{k^2}-2k+1}}{{1+{k^2}}}$，…（11分）        
${k_{AB}}=\frac{{{y_B}-{y_A}}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-k（{x_B}+1）-1-k（{x_A}+1）+1}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-k（{x_B}+{x_A}）-2k}}{{{x_B}-{x_A}}}=1$，…（12分）
又${k_{PM}}=\frac{2-0}{0-2}=-1$，所以有k_PM•k_AB=-1，
故直線AB與直線PM垂直． …（13分）

點評 本題考查求一個圓關(guān)于直線的對稱圓的方程的方法，直線和圓相交的性質(zhì)，判斷兩直線垂直的方法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．