Question

5．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\overrightarrow$x+$\overrightarrow{a}$
（2）已知該廠技改前50噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為45噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)50噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低了多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？
（參考公式：$\overrightarrow$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，參考數(shù)值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

Answer 1

分析 （1）由題意，求出$\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}$，$\overline{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}$，得到$\widehat$，然后求解線性回歸方程．
（2）根據(jù)線性回歸方程的預(yù)測(cè)，代入生產(chǎn)50噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量即可求解消耗能源減少的噸數(shù)．

解答 解：（1）由題意，得$\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}$=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，…（1分）
$\overline{x}$=$\frac{3+4+5+6}{4}$=4.5 $\overrightarrow{y}$=$\frac{2.5+3+4+4.5}{4}$=3.5，…（2分）  
$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}$=3²+4²+5²+6²=86，…（3分）
則$\widehat$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4×4.52}$=$\frac{66.5-63}{86-81}$=0.7，…（5分）  
$\widehat{a}$=$\overline{y}-\widehat\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35，…（7分）
故線性回歸方程為$\widehat{y}$=0.7x+0.35…（8分）
（2）根據(jù)線性回歸方程的預(yù)測(cè)，現(xiàn)在生產(chǎn)50噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量為0.7×50+0.35=35.35，…（9分）
故消耗能源減少了45-35.35=9.65（噸）…（10分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查回歸直線方程的求法與應(yīng)用，考查計(jì)算能力．