Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是公差不為0的等差數(shù)列，則數(shù)列{（-1）ⁿa_n}的前17項(xiàng)的和S₁₇=-153．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的公差為d（d≠0），依題意，可求得a_n=n+（n²-n）d，又a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，可求得d=1，繼而可得a_n=n²，從而可求得數(shù)列{（-1）ⁿa_n}的前17項(xiàng)的和．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的公差為d（d≠0），
∵a₁=1，∴$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1）d，
∴a_n=n+（n²-n）d，
又a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴[2+（2²-2）d]²=1•[4+（4²-4）]d，整理得：d²=d，又d≠0，
∴d=1，
∴a_n=n+（n²-n）×1=n²，
∴數(shù)列{（-1）ⁿa_n}的前17項(xiàng)的和：
S₁₇=-1²+2²-3²+4²-…-15²+16²-17²
=（2²-1²）+（4²-3²）+…+（16²-15²）-17²
=（1+2+3+4+…+15+16）-17²
=$\frac{（1+16）×16}{2}$-17²
=-153．
故答案為：-153．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，求得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的公差為1及a_n=n²是關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查分組求和與等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．