Question

4．已知a∈R，函數(shù)f（x）滿足f（2^x）=x²-2ax+a²-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并寫出f（x）的定義域；
（Ⅱ）若f（x）在$[{2^{a-1}}，{2^{{a^2}-2a+2}}]$上的值域?yàn)閇-1，0]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）使用換元法令2^x=t＞0，則x=log₂t代入即可求出；
（Ⅱ）由題意，利用換元法將f（x）在$[{2^{a-1}}，{2^{{a^2}-2a+2}}]$上的值域?yàn)閇-1，0]等價(jià)于g（x）=x²-2ax+a²-1在區(qū)間[a-1，a²-2a+2]上的值域?yàn)閇-1，0]．從而求解可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）令2^x=t＞0，則x=log₂t，則$f（t）={（{log_2}t）^2}-2a{log_2}t+{a^2}-1$，
即$f（x）={（{log_2}x）^2}-2a{log_2}x+{a^2}-1$．
定義域?yàn)椋海?，+∞）；
（Ⅱ）令g（x）=f（2^x），則f（x）=$g（lo{g}_{2}x）=（lo{g}_{2}x）^{2}-2alo{g}_{2}x+{a}^{2}-1$，
∴f（x）在$[{2^{a-1}}，{2^{{a^2}-2a+2}}]$上的值域?yàn)閇-1，0]等價(jià)于g（x）=x²-2ax+a²-1
在區(qū)間[a-1，a²-2a+2]上的值域?yàn)閇-1，0]．
∵g（a）=-1∈[-1，0]，∴a∈[a-1，a²-2a+2]，且g（x）在區(qū)間[a-1，a²-2a+2]上的最大值應(yīng)在區(qū)間端點(diǎn)處取得．
又g（a-1）=0恰為g（x）在該區(qū)間上的最大值，故a必在區(qū)間右半部分，即$\frac{（a-1）+（{a}^{2}-2a+2）}{2}≤a≤{a}^{2}-2a+2$，
解得$\frac{3-\sqrt{5}}{2}≤a≤1$或$2≤a≤\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域及其值域的求法，解決本題的關(guān)鍵是利用換元法進(jìn)行求解，是中檔題．