Question

8．已知△ABC滿足$AB=4，AC=2，∠BAC=\frac{2π}{3}$，點D、E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則 $\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{DC}$的值為（　�。�

• A． -$\frac{3}{2}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． -2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由向量數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，再由中位線定理和向量的加減運算和向量數(shù)量積的性質(zhì)，向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值．

解答 解：$AB=4，AC=2，∠BAC=\frac{2π}{3}$，
可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4×2×cos$\frac{2π}{3}$=8×（-$\frac{1}{2}$）=-4，
由點D、E分別是邊AB，BC的中點，
可得$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
由DE=2EF，可得$\overrightarrow{DF}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{DE}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
則 $\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{DC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$）=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）
=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$²+$\frac{1}{8}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{4}$×16+$\frac{3}{4}$×4-$\frac{1}{8}$×4=-4+3-$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查向量的共線和平面向量基本定理的運用，以及向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．