Question

19．已知公比為2的等比數(shù)列{a_n}中存在兩項a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 公比為2的等比數(shù)列{a_n}中存在兩項a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，可得2^m+n-2=2⁴，化為m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵公比為2的等比數(shù)列{a_n}中存在兩項a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，a₁≠0，
∴2^m+n-2=2⁴，
∴m+n=6．
則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}$（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{6}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$）=$\frac{3}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=4時取等號．
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．