Question

9．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足$\frac{a-2{e}^{a}}$=$\frac{1-c}{d-1}$=1其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　�。�

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 18

Answer 1

分析 由已知得點(diǎn)（a，b）在曲線(xiàn)y=x-2e^x上，點(diǎn)（c，d）在曲線(xiàn)y=2-x上，（a-c）²+（b-d）²的幾何意義就是曲線(xiàn)y=x-2e^x到曲線(xiàn)y=2-x上點(diǎn)的距離最小值的平方．由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答 解：∵實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足$\frac{a-2{e}^{a}}$=$\frac{1-c}{d-1}$=1，∴b=a-2e^a，d=2-c，
∴點(diǎn)（a，b）在曲線(xiàn)y=x-2e^x上，點(diǎn)（c，d）在曲線(xiàn)y=2-x上，
（a-c）²+（b-d）²的幾何意義就是曲線(xiàn)y=x-2e^x到曲線(xiàn)y=2-x上點(diǎn)的距離最小值的平方．
考查曲線(xiàn)y=x-2e^x上和直線(xiàn)y=2-x平行的切線(xiàn)，
∵y′=1-2e^x，求出y=x-2e^x上和直線(xiàn)y=2-x平行的切線(xiàn)方程，
∴令y′=1-2e^x=-1，
解得x=0，∴切點(diǎn)為（0，-2），
該切點(diǎn)到直線(xiàn)y=2-x的距離d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{1+1}}$=2$\sqrt{2}$就是所要求的兩曲線(xiàn)間的最小距離，
故（a-c）²+（b-d）²的最小值為d²=8．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．