Question

9．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為正三角形，點M在棱BB₁上，AB=4，AA₁=5，
平面A₁MC⊥平面ACC₁A₁．
（1）求證：M是棱BB₁的中點；
（2）求平面A₁MC與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標系，利向量法即可證明M是棱BB₁的中點；
（2）求出平面的法向量．利用向量法即可求平面A₁MC與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）取AC中點O，連OB．
在平面ACC₁A₁上過O作AC垂線交A₁C₁于N．
∵平面ACC₁A₁⊥平面ABC．
∴ON⊥平面ABC，
如圖：以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系
由已知：A（2，0，0），B（0，2$\sqrt{3}$，0），C（-2，0，0），A₁（2，0，5），B₁（0，2$\sqrt{3}$，5），C₁（-2，0，5），M（0，2$\sqrt{3}$，m），…（3分）
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面A₁MC法向量
$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=-4x-5z=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=2x+2\sqrt{3}y+mz=0$，
取x=5$\sqrt{3}$，z=-4$\sqrt{3}$，y=2m-5，
即：$\overrightarrow{n}$=（5$\sqrt{3}$，2m-5，-4$\sqrt{3}$），
又$\overrightarrow{m}$=（0，1，0）為平面ACC₁A₁法向量
依題意：$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2m-5=0$，解得m=$\frac{5}{2}$
∴M為棱BB₁的中點                                    …（8分）
（2）由（1）知：$\overrightarrow{n}$=（5$\sqrt{3}$，2m-5，-4$\sqrt{3}$）為平面A₁MC法向量
又$\overrightarrow{a}$=（0，0，1）為平面ABC法向量
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-4\sqrt{3}}{\sqrt{25×3+16×3}}$=-$\frac{4\sqrt{41}}{41}$，
∴平面A₁MC與平面ABC所成銳二面角余弦值為$\frac{4\sqrt{41}}{41}$．…（12分）

點評 本題主要考查空間二面角的求解，建立坐標系，利用向量法是解決線面所成角的常用方法．