Question

5．已知關于x的不等式x²-ax-2＞0的解集為{x|x＜-1或x＞b}（b＞-1）．
（1）求a，b的值；
（2）當m＞-$\frac{1}{2}$時，解關于x的不等式（mx+a）（x-b）＞0．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次不等式和對應方程的關系，結合根與系數的關系，即可求出a、b的值；
（2）討論m=0以及m＞0，-$\frac{1}{2}$＜m＜0時，求出對應不等式的解集即可．

解答 解：（1）關于x的不等式x²-ax-2＞0的解集為{x|x＜-1或x＞b}（b＞-1），
∴-1，b是方程x²-ax-2=0的兩實數根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b=a}\\{-1×b=-2}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=2；
（2）由（1）知，不等式可化為（mx+1）（x-2）＞0，
又m＞-$\frac{1}{2}$，
當m=0時，不等式化為x-2＞0，解得x＞2；
當m＞0時，不等式化為（x+$\frac{1}{m}$）（x-2）＞0，解得x＜-$\frac{1}{m}$，或x＞2；
當-$\frac{1}{2}$＜m＜0時，-$\frac{1}{m}$＞2，不等式化為（x+$\frac{1}{m}$）（x-2）＜0，解得2＜x＜-$\frac{1}{m}$；
綜上，m＞0時，不等式的解集為{x|x＜-$\frac{1}{m}$，或x＞2}，
m=0時，不等式的解集為{x|x＞2}，
-$\frac{1}{2}$＜m＜0時，不等式的解集為{x|2＜x＜-$\frac{1}{m}$}．

點評 本題考查了分類討論思想的應用問題，也考查了一元二次不等式與對應方程的應用問題，是綜合性題目．