Question

19．已知點列P_n（a_n，b_n）在直線l：y=2x+1上，P₁為直線l與y軸的交點，等差數(shù)列{a_n}的公差為1，（n∈N⁺）
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{C_n}滿足C_n=$\frac{1}{n•|{P}_{1}{P}_{n}|}$（n≥2），求$\underset{lim}{n→∞}$（C₂+C₃+…+C_n）．
（3）若d_n=2d_n-1+a_n+1（n≥2）且d₁=1，求{d_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由已知得b_n=2a_n+1，從而數(shù)列{a_n}的公差為1，數(shù)列{b_n}的公差為2，求得P₁（0，1），由此求出a_n=n-1，b_n=2n-1．（n∈N^*）；
（2）運用兩點的距離公式，可得C_n=$\frac{1}{n•|{P}_{1}{P}_{n}|}$（n≥2）=$\frac{1}{\sqrt{5}n（n-1）}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），運用裂項相消求和和數(shù)列的極限公式，計算即可得到所求；
（3）n≥2，d_n=2d_n-1+n，變形為d_n+n+2=2（d_n-1+n-1+2），運用等比數(shù)列的通項公式，即可得到所求．

解答 解：（1）∵點列P_n（a_n，b_n）在直線l：y=2x+1上，
∴b_n=2a_n+1，
∵P₁為直線l與y軸的交點，
∴P₁（0，1），∴a₁=0，b₁=1，
又?jǐn)?shù)列{a_n}的公差為1，
∴a_n=n-1，（n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}的公差為2，
即有b_n=1+2（n-1）=2n-1．（n∈N^*）；
（2）∵p₁（0，1），p_n（a_n，b_n），
∴|P₁P_n|=$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+（_{n}-1）^{2}}$=$\sqrt{（n-1）^{2}+（2n-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$（n-1），
∴C_n=$\frac{1}{n•|{P}_{1}{P}_{n}|}$（n≥2）=$\frac{1}{\sqrt{5}n（n-1）}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴C₁+C₂+…+C_n
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（1-$\frac{1}{n}$），
即有$\underset{lim}{n→∞}$（C₂+C₃+…+C_n）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{\sqrt{5}}$（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（1-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（1-0）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（3）n≥2，d_n=2d_n-1+a_n+1=2d_n-1+n，
∴d_n+n+2=2（d_n-1+n-1+2），
∴數(shù)列{d_n+n+2}為等比數(shù)列，
首項為d₁+1+2=4，公比為2，
即有d_n+n+2=4•2^n-1，
可得d_n=2ⁿ⁺¹-n-2．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、兩點之間的距離公式、極限的運算性質(zhì)，考查構(gòu)造法的運用，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．