14.已知函數(shù)f(x)=(ax2+x+2)ex(a>0),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)的極值;
(2)若f(x)在[-2,2]上是單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=1時(shí),求整數(shù)t的所有值,使方程f(x)=x+4在[t,t+1]上有解.

分析 (1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
(3)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)f(x)=(2x2+x+2)ex,則f′(x)=(2x2+5x+3)ex=(x+1)(2x+3)ex…(2分)
令f′(x)=0,$x=-1,-\frac{3}{2}$

x$(-∞,-\frac{3}{2})$$-\frac{3}{2}$$(-\frac{3}{2},-1)$-1(-1,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)極大值極小值
∴$f{(x)_{極大值}}=f(-\frac{3}{2})=5{e^{-\frac{3}{2}}}$,$f{(x)_{極小值}}=f(-1)=3{e^{-1}}$…(4分)
(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f′(x)=[ax2+(2a+1)x+3]ex≥0在x∈[-2,2]上恒成立;
又ex>0即ax2+(2a+1)x+3≥0在x∈[-2,2]上恒成立;      …(6分),
令g(x)=ax2+(2a+1)x+3,
∵a>0,對(duì)稱軸$x=-1-\frac{1}{2a}<0$
①當(dāng)-1-$\frac{1}{2a}$≤-2,即$0<a≤\frac{1}{2}$時(shí),g(x)在[-2,2]上單調(diào)增,
∴g(x)的最小值g(x)=g(-2)=1>0,∴0<a≤$\frac{1}{2}$                          …(8分)
②當(dāng)-2<-1-$\frac{1}{2a}$<0,即$a>\frac{1}{2}$時(shí),g(x)在[-2,-1-$\frac{1}{2a}$]上單調(diào)減,在[-1-$\frac{1}{2a}$,2]上單調(diào)增,
∴△=(2a+1)2-12a≤0,解得:$1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤a≤1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∴$\frac{1}{2}$<a≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
綜上,a的取值范圍是$(0,1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$.                          …(10分)
(3)∵a=1,設(shè)h(x)=(x2+x+2)ex-x-4,h′(x)=(x2+3x+3)ex-1
令φ(x)=(x2+3x+3)ex-1,φ′(x)=(x2+5x+6)ex
令φ′(x)=(x2+5x+6)ex=0,得x=-2,-3
x(-∞,-3)-3(-3,-2)-2(-2,+∞)
φ′(x)+0-0+
φ(x)極大值極小值
∴$φ{(diào)(x)_{極大值}}=φ(-3)=\frac{3}{e^3}-1<0$,$φ{(diào)(x)_{極小值}}=φ(-2)=\frac{1}{e^2}-1<0$…(13分)
∵$φ(-1)=\frac{1}{e}-1<0,φ(0)=2>0$,
∴存在x0∈(-1,0),x∈(-∞,x0)時(shí),φ(x)<0,x∈(x0,+∞)時(shí),φ(x)>0
∴h(x)在(-∞,x1)上單調(diào)減,在(x1,+∞)上單調(diào)增
又∵$h(-4)=\frac{14}{e^4}>0,h(-3)=\frac{8}{e^3}-1<0,h(0)=-2<0,h(1)=4e-5>0$
由零點(diǎn)的存在性定理可知:h(x)=0的根x1∈(-4,-3),x2∈(0,1)即t=-4,0.   …(16分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),有一定的難度.

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