Question

15．已知函數(shù)$f（x）=alnx-\frac{x}{2}$在x=2處取得極值．
（Ⅰ）求a實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞1時，$f（x）+\frac{k}{x}＜0$恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（2）=0，解得a的值，檢驗(yàn)即可；
（Ⅱ）等價于$k＜\frac{x^2}{2}-xlnx$（x＞1），令$g（x）=\frac{x^2}{2}-xlnx$，通過討論函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=alnx-\frac{x}{2}$，∴$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{2}$．
∵函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，
∴f′（2）=0，
解得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；
（Ⅱ）得當(dāng)x＞1時，$f（x）+\frac{k}{x}＜0$恒成立，
等價于$k＜\frac{x^2}{2}-xlnx$（x＞1），
令$g（x）=\frac{x^2}{2}-xlnx$，則g′（x）=x-1-lnx．
令h（x）=x-1-lnx，則$h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．
當(dāng)x＞1時，h′（x）＞0，
函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故h（x）＞h（1）=0；
從而，當(dāng)x＞1時，g'（x）＞0，
即函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故$g（x）＞g（1）=\frac{1}{2}$，
因此，當(dāng)x＞1時，$k＜\frac{x^2}{2}-xlnx$恒成立，
則$k≤\frac{1}{2}$，
∴k的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．