Question

15．對于任意x∈[-2，1]時，不等式mx³-x²+4x+3≥0恒成立，求m的范圍．

Answer 1

分析 通過x=0時，判斷不等式是否成立求出m的范圍，0＜x≤1時，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，f（x）_max，通過-2≤x＜0時求出函數(shù)f（x）_min，得到m的范圍．

解答 解：當(dāng)x=0時，不等式mx³-x²+4x+3≥0對任意m∈R恒成立；
當(dāng)0＜x≤1時，ax³-x²+4x+3≥0可化為m≥$\frac{1}{x}$$-\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{3}}$，
令f（x）=$\frac{1}{x}$$-\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{3}}$，則f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-$\frac{（x-9）（x+1）}{{x}^{4}}$（*），
當(dāng)0＜x≤1時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
f（x）_max=f（1）=-6，∴m≥-6；
當(dāng)-2≤x＜0時，mx³-x²+4x+3≥0可化為m≤$\frac{1}{x}$$-\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{3}}$，
由（*）式可知，當(dāng)-2≤x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（-1）=-2，∴m≤-2；
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是-6≤m≤-2，即實數(shù)m的取值范圍是[-6，-2]．

點評 本題考查分類討論思想的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)閉區(qū)間上的最值，構(gòu)造法以及恒成立問題的應(yīng)用，難度比較大