Question

10．設(shè)g（x）=e^2x+|e^x-a|，x∈[0，ln3]，其中a≤2$\sqrt{2}$．
（1）當(dāng)a=1時，函數(shù)g（x）是否存在零點，若存在，求出所有零點，若不存在，說明理由．
（2）求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由x∈[0，ln3]，去掉絕對值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題．
（2）設(shè)t=e^x，由x∈[0，ln3]則t∈[1，3]，則m（t）=t²+|t-a|，討論a，利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）∵x∈[0，ln3]，所以e^x≥1，∴g（x）=e^2x+e^x-1，e^x∈[1，3]，
解得：${e}^{x}=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，其中$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}∈[1，3]$
故g（x）有一個零點，為$ln\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．
（2）設(shè)t=e^x，由x∈[0，ln3]，知t∈[1，3]，則m（t）=t²+|t-a|
當(dāng)a≤1時，m（t）=t²+t-a在[1，3]上是增函數(shù)，
∴m（t）_min=m（1）=2-a…（8分）
當(dāng)1＜a≤2時，m（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-t+a}&{1≤t≤a}\\{{t}^{2}+t-a}&{a＜t≤3}\end{array}\right.$
∵m（t）在[a，3]上是增函數(shù)，在[1，a]上也是增函數(shù)，又m（t）在[1，3]上是連續(xù)函數(shù)，
∴m（t）在[1，3]上是增函數(shù)，
∴m（t）_min=m（1）=a；
綜上所述：h（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{2-a}&{a≤1}\\{a}&{1＜a≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查了利用零點的求法和二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．