Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）的圖象在點(diǎn)（1，-2）處切線斜率為0．
（1）求a，b的值；
（2）若對(duì)于區(qū)間[-2，2]上任意自變量的x₀，都有|f（x₀）|≤c，求實(shí)數(shù)c的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義及切點(diǎn)的實(shí)質(zhì)建立a，b的方程，然后求解即可；
（2）由題意，若對(duì)于區(qū)間[-2，2]上任意自變量的x₀，都有|f（x₀）|≤c，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下的最值即可得解．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3．
根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-2}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+b-3=-2}\\{3a+2b-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
所以f（x）=x³-3x；
（2）令f′（x）=0，即3x²-3=0．得x=±1．
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減．
因?yàn)閒（-1）=2，f（1）=-2，
所以當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）_max=2，f（x）_min=-2．
若對(duì)于區(qū)間[-2，2]上任意自變量的x₀，都有|f（x₀）|≤c，所以c≥2．
所以c的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 此題重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何含義及函數(shù)切點(diǎn)的定義，還考查了數(shù)學(xué)中重要的方程的思想，考查了數(shù)學(xué)中等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想把題意總轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下的最值．