Question

10．在區(qū)間D上，若函數(shù)y=f（x）為增函數(shù)，而函數(shù)$y=\frac{f（x）}{x}$為減函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的“弱增”函數(shù)．則下列函數(shù)中，在區(qū)間[1，2]上不是“弱增”函數(shù)的為（　�。�

• A． $g（x）=\sqrt{x}$
• B． $g（x）=\sqrt{x+4}$
• C． g（x）=x²+1
• D． g（x）=x²+4

Answer 1

分析 根據(jù)“弱增”函數(shù)的定義，判斷g（x）在[1，2]上的單調(diào)性，再判斷$y=\frac{g（x）}{x}$在[1，2]上的單調(diào)性，而判斷單調(diào)性可通過(guò)單調(diào)性的定義，以及$y=x+\frac{1}{x}$的單調(diào)性，和根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的方法判斷即可．

解答 解：A．g（x）=$\sqrt{x}$在[1，2]上為增函數(shù)；
∴$y=\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}$在[1，2]上為減函數(shù)；
∴g（x）在[1，2]上為“弱增”函數(shù)；
B.$g（x）=\sqrt{x+4}$在[1，2]上為增函數(shù)；
$y=\frac{\sqrt{x+4}}{x}=\frac{\sqrt{x+4}}{x+4-4}=\frac{1}{\sqrt{x+4}-\frac{4}{\sqrt{x+4}}}$，x增大時(shí)，$\sqrt{x+4}$增大，$\frac{4}{\sqrt{x+4}}$減小，∴$\sqrt{x+4}-\frac{4}{\sqrt{x+4}}$增大；
∴$\frac{1}{\sqrt{x+4}-\frac{4}{\sqrt{x+4}}}$減小；
∴$y=\frac{\sqrt{x+4}}{x}$在[1，2]上為減函數(shù)；
∴g（x）在[1，2]上為“弱增”函數(shù)；
C．g（x）=x²+1在[1，2]上為增函數(shù)；
$y=\frac{{x}^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$在[1，2]上為增函數(shù)；
∴g（x）在區(qū)間[1，2]上不是“弱增”函數(shù)，即該選項(xiàng)正確；
D．g（x）=x²+4在[1，2]上為增函數(shù)；
$y=\frac{{x}^{2}+4}{x}=x+\frac{4}{x}$，$y′=\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$；
∵x∈[1，2]；
∴y′≤0；
∴$y=\frac{{x}^{2}+4}{x}$在[1，2]上單調(diào)遞減；
∴g（x）在[1，2]上為“弱增”函數(shù)．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)“弱增”函數(shù)定義的理解，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，要熟悉函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}$的單調(diào)性．