Question

17．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的焦點(diǎn)為F₁和F₂，點(diǎn)P在雙曲線上，如果線段PF₁的中點(diǎn)在y軸上，|PF₁|：|PF₂|=9．

Answer 1

分析 先求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上，線段PF₁的中點(diǎn)在y軸上，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算|PF₁|，|PF₂|，即可求得|PF₁|：|PF₂|的值．

解答 解：由題意，a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{15}$
不妨設(shè)F₁（-$\sqrt{15}$，0），則P（$\sqrt{15}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴|PF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，|PF₁|=4$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴|PF₁|：|PF₂|=9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查距離公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．