Question

1．如圖，在四面體ABCD中，AD=BD，∠ABC=90°，點E，F(xiàn)分別為棱AB，AC上的點，點G為棱AD的中點，且平面EFG∥平面BCD．求證：
（1）EF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）平面EFD⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）利用平面與平面平行的性質(zhì)，可得EG∥BD，利用G為AD的中點，可得E為AB的中點，同理可得，F(xiàn)為AC的中點，即可證明EF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）證明AB⊥平面EFD，即可證明平面EFD⊥平面ABC．

解答 證明：（1）因為平面EFG∥平面BCD，
平面ABD∩平面EFG=EG，平面ABD∩平面BCD=BD，
所以EG∥BD，…（4分）
又G為AD的中點，
故E為AB的中點，
同理可得，F(xiàn)為AC的中點，
所以EF=$\frac{1}{2}$BC．…（7分）
（2）因為AD=BD，
由（1）知，E為AB的中點，
所以AB⊥DE，
又∠ABC=90°，即AB⊥BC，
由（1）知，EF∥BC，所以AB⊥EF，
又DE∩EF=E，DE，EF?平面EFD，
所以AB⊥平面EFD，…（12分）
又AB?平面ABC，
故平面EFD⊥平面ABC．…（14分）

點評 本題考查平面與平面平行的性質(zhì)，考查平面與平面垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．