Question

1．如圖，在四面體ABCD中，AD=BD，∠ABC=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，AC上的點(diǎn)，點(diǎn)G為棱AD的中點(diǎn)，且平面EFG∥平面BCD．求證：
（1）EF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）平面EFD⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）利用平面與平面平行的性質(zhì)，可得EG∥BD，利用G為AD的中點(diǎn)，可得E為AB的中點(diǎn)，同理可得，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，即可證明EF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）證明AB⊥平面EFD，即可證明平面EFD⊥平面ABC．

解答 證明：（1）因?yàn)槠矫鍱FG∥平面BCD，
平面ABD∩平面EFG=EG，平面ABD∩平面BCD=BD，
所以EG∥BD，…（4分）
又G為AD的中點(diǎn)，
故E為AB的中點(diǎn)，
同理可得，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，
所以EF=$\frac{1}{2}$BC．…（7分）
（2）因?yàn)锳D=BD，
由（1）知，E為AB的中點(diǎn)，
所以AB⊥DE，
又∠ABC=90°，即AB⊥BC，
由（1）知，EF∥BC，所以AB⊥EF，
又DE∩EF=E，DE，EF?平面EFD，
所以AB⊥平面EFD，…（12分）
又AB?平面ABC，
故平面EFD⊥平面ABC．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面平行的性質(zhì)，考查平面與平面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．