Question

11．已知單位向量$\overrightarrow i，\overrightarrow j，\overrightarrow k$兩兩的夾角均為θ（0＜θ＜π，且θ≠$\frac{π}{2}$），若空間向量$\overrightarrow a$滿足$\overrightarrow a=x\overrightarrow i+y\overrightarrow j+z\overrightarrow k（x，y，z∈R）$，則有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）稱為向量$\overrightarrow a$在“仿射”坐標(biāo)系O-xyz（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記作$\overrightarrow a={（x，y，z）_θ}$有下列命題：
①已知$\overrightarrow a={（1，3，-2）_θ}，\overrightarrow b={（4，0，2）_θ}$，則$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0；
②已知$\overrightarrow a={（x，y，0）_{\frac{π}{3}}}，\overrightarrow b={（0，0，z）_{_{\frac{π}{3}}}}$其中xyz≠0，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角取得最小值；
③已知$\overrightarrow a={（{x_1}，{y_1}，{z_1}）_θ}，\overrightarrow b={（{x_2}，{y_2}，{z_2}）_θ}，則\overrightarrow a+\overrightarrow b={（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}，{z_1}+{z_2}）_θ}$；
④已知$\overrightarrow{OA}={（1，0，0）_{\frac{π}{3}}}，\overrightarrow{OB}={（0，1，0）_{\frac{π}{3}}}，\overrightarrow{OC}={（0，0，1）_{\frac{π}{3}}}$，則三棱錐O-ABC的表面積S=$\sqrt{2}$，其中真命題有②③（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 理解仿射坐標(biāo)的概念，利用空間向量的共線定理及數(shù)量積運(yùn)算即可求解．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}$=（2，0，-1）$\overrightarrow{o}$，$\overrightarrow$=（1，0，2）$\overrightarrow{o}$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（2$\overrightarrow{i}$-$\overrightarrow{k}$）•（$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{k}$）=2+3$\overrightarrow{i}$•$\overrightarrow{k}$-2=3cosθ，
∵0＜θ＜π，且$θ≠\frac{π}{2}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≠0；
②$\overrightarrow{a}=（x，y，0）_{\frac{π}{3}}$，$\overrightarrow=（0，0，z）_{\frac{π}{3}}$，其中xyz≠0，向量$\overrightarrow{a}$的夾角取得最小值，兩向量同向
存在實(shí)數(shù)λ＞0，滿足$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$，根據(jù)仿射坐標(biāo)的定義，易知②為正確；
③已知$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁，z₁）_θ，$\overrightarrow$=（x₂，y₂，z₂）_θ，則$\overrightarrow{a}$=（x₁-x₂）$\overrightarrow{i}$+（y₁-y₂）$\overrightarrow{j}$+（z₁-z₂）$\overrightarrow{k}$，
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（{x}_{1}-{x}_{2}，{y}_{1}-{y}_{2}，{z}_{1}{-z}_{2}）_{θ}$
④$\overrightarrow{OA}=（1，0，0）_{\frac{π}{3}}$，$\overrightarrow{OB}=（0，1，0）_{\frac{π}{3}}$，$\overrightarrow{OC}=（0，0，1）_{\frac{π}{3}}$已知，則三棱錐O-ABC為正四面體，棱長(zhǎng)為1，∴表面積為S=4×$4×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了向量的相關(guān)概念，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．