Question

15．設(shè)S為實(shí)數(shù)集R的非空子集．若對(duì)任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，則稱S為封閉集，下列說法：
①集合S={a+b$\sqrt{3}$|a，b為整數(shù)}為封閉集；
②若S為封閉集，則一定有0∈S；
③封閉集一定有無數(shù)多個(gè)元素；
④若S為封閉集，則滿足S⊆T⊆R的任意集合T也是封閉集．
其中的正確的說法是①②（寫出所有正確說法的序號(hào)）．

Answer 1

分析 由題意直接驗(yàn)證①即可判斷正誤；令x=y可推出②是正確的；找出反例集合S={0}，即可判斷③的錯(cuò)誤；令S={0}，T={0，1}，推出-1不屬于T，判斷④是錯(cuò)誤的

解答 解：①設(shè)x=a+b$\sqrt{3}$，y=c+d$\sqrt{3}$，（a，b，c，d為整數(shù)），
則x+y∈S，x-y∈S，xy=（ac+3bd）+（bc+ad）$\sqrt{3}$∈S，S為封閉集，①正確；
②當(dāng)S為封閉集時(shí)，因?yàn)閤-y∈S，取x=y，得0∈S，②正確；
③對(duì)于集合S={0}，顯然滿足所有條件，但S是有限集，③錯(cuò)誤；
④取S={0}，T={0，1}，滿足S⊆T⊆C，但由于0-1=-1不屬于T，故T不是封閉集，④錯(cuò)誤．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)封閉集定義的理解及運(yùn)用，考查集合的子集，集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，以及驗(yàn)證和舉反例的方法的應(yīng)用，是一道中檔題