Question

3．數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，且{a_na_n+1}是以3為公比的等比數(shù)列．
（1）求a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式和前2n項和．

Answer 1

分析 （1）分別令n=2，3，即可得到所求a₃，a₄的值；
（2）由a_na_n+1=6•3^n-1，可得a_n+1a_n+2=6•3ⁿ，則有$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{3}$，由等比數(shù)列的通項公式和求和公式，奇數(shù)即可得到．

解答 解：（1）{a_na_n+1}是以3為公比的等比數(shù)列，
即有a_na_n+1=6•3^n-1，
則a₂a₃=6×3=18，解得a₃=6；
a₃a₄=6×9，解得a₄=9；
（2）由a_na_n+1=6•3^n-1，可得a_n+1a_n+2=6•3ⁿ，
則有$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{3}$，
即有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2•{3}^{\frac{n-1}{2}}，n為奇數(shù)}\\{3•{3}^{\frac{n-2}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
前2n項和為（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$
=$\frac{5（{3}^{n}-1）}{2}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．