Question

20．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{2}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$）．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足a²+b²=6abcosC，sin²C=2sinAsinB，求f（2C）的值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、和差公式可得：f（x）=$sin（x-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$．再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）由sin²C=2sin Asin B，利用正弦定理可得c²=2ab；由a²+b²=6abcos C，利用余弦定理可得cos C=$\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1
=$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}$-$co{s}^{2}\frac{x}{2}$+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx$-$\frac{1+cosx}{2}$+1
=$sin（x-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$．
由$2kπ+\frac{π}{2}$$≤x-\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{3π}{2}$，解得$2kπ+\frac{2π}{3}$≤x≤2kπ$+\frac{5π}{3}$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$2kπ+\frac{2π}{3}$，2kπ$+\frac{5π}{3}$]，（k∈Z）．
（2）由sin²C=2sin Asin B，∴c²=2ab，
由a²+b²=6abcos C，
∴cos C=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{6abcosC-2ab}{2ab}$=3cos C-1，
即cos C=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∴f（2C）=$f（\frac{2π}{3}）$=$sin（\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、和差公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．