Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|log_2x|，0＜x＜2}\\{cos（\frac{π}{2}-\frac{π}{4}x），2≤x≤10}\end{array}\right.$，若存在實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄滿足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），則x₁x₂（x₃-1）（x₄-1）的取值范圍是（　�。�

• A． ∅
• B． （9，21）
• C． （21，25）
• D． （9，25）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，確定x₁x₂=1，x₃+x₄=12，2＜x₃＜4，8＜x₄＜10，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)2≤x≤10，時(shí)，f（x）=sin$\frac{π}{4}$x，
則函數(shù)的圖象如圖，
則0＜x₁＜1＜x₂＜2＜x₃＜x₄，且x₃，x₄，關(guān)于x=6對稱，
∵f（x₁）=f（x₂），
∴-log₂x₁=log₂x₂，
∴l(xiāng)og₂x₁x₂=0，
∴x₁x₂=1，
∵f（x₃）=f（x₄），
∴x₃+x₄=12，2＜x₃＜x₄＜10
∴x₁x₂（x₃-1）（x₄-1）=（x₃-1）（x₄-1）=x₃x₄-（x₃+x₄）+1=x₃x₄-11，
∵2＜x₃＜4，8＜x₄＜10，x₃+x₄=12，
∴x₃=-x₄+12，
則x₃x₄=（12-x₄）x₄=-（x₄）²+12x₄=-（x₄-6）²+36，
∵8＜x₄＜10，
∴20＜x₃x₄＜32
則9＜x₃x₄-11＜21，
故選：B．

點(diǎn)評 本小題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法、函數(shù)的值域的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，難度較大．